1.История алгебры логики

Логика как науки появилась в XIX в., т.е. задолго до появления науки информатики и компьютеров. Элементы математической логики можно найти уже в работах древнегреческих философов. В XVII в. Г. В. Лейбниц высказал идею о том, что рассуждения могут быть сведены к механическому выполнению определенных действий по установленным правилам. Однако как самостоятельный раздел математики логика начала формироваться с середины XIX в.

Эти теоремы являются основными потому, что в логики они играют особо важную роль, являются наиболее общими. Они позволяют упрощать логические выражения и строить умозаключения и доказательства. Первые три из вышеперечисленных законов были выявлены и сформулированы Аристотелем, а закон достаточного основания-Г. Лейбницем.

Буль был, вероятно, первым после Джона Валлиса математиком, обратившимся к логической проблематике. Не удовлетворённый полученными в ней результатами, Буль высказывал пожелание, чтобы о его взглядах судили по обширному трактату "Исследование законов мышления, на которых основываются математические теории логики и вероятностей" (1854). Буль показал, что символика такого рода подчиняется тем же законам, что и алгебраическая, из чего следовало, что их можно складывать, вычитать, умножать и даже делить. В такой символике высказывания могут быть сведены к форме уравнений, а заключение из двух посылок силлогизма - получено путём исключения среднего термина по обычным алгебраическим правилам. Ещё более оригинальной и примечательной была часть его системы, представленной в "Законах мышления", образующая общий символический метод логического вывода. Буль показал, как из любого числа высказываний, включающих любое число терминов, вывести любое заключение, следующее из этих высказываний, путём чисто символических манипуляций. Вторая часть "Законов мышления" содержит аналогичную попытку обнаружить общий метод в исчислении вероятностей, позволяющий из заданных вероятностей совокупности событий определить вероятность любого другого события, логически связанного с ними.

2.Основные понятия алгебры логики

Основными формами мышления являются понятие, высказывание и умозаключение

Понятие - форма мышления, фиксирующая основные признаки объекта.

Высказывание - форма мышления, в которой что - либо утверждается или отрицается о свойствах реальных предметов и отношениях между ними. Высказывание может быть либо истинно, либо ложно.

Умозаключение - это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (высказываний) может быть получено новое суждение (заключение).

В отличий от обычной алгебры в алгебре логики символами обозначаются не числа, а высказывания.

высказывание - это некоторое предложение о котором можно говорить истина оно или ложно.

высказывания обозначаются заглавными буквами русского или латинского алфавита

А={ } или А=" "

всякому высказыванию можно записать отрицание

В отличий от обычной алгебры в алгебре логики символами обозначаются не числа, а высказывания.

3.логические операции и,или, не

Логическое выражение - это символическая запись высказывания, состоящая из логических величин (констант или переменных), объединенных логическими операциями (связками).

Связки НЕ, И, ИЛИ заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция.

Конъюнкция(И) - это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым (или исходным) высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны. Если хотя бы одно из составляющих высказываний ложно, то и полученное из них с помощью союза «И» сложное высказывание также считается ложным.

Дизъюнкция(ИЛИ) - это логическая операция, которая каждым двум простым (или исходным) высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Отрицание (НЕ) - логическая операция, которая с помощью связки «не» каждому исходному высказыванию ставит в соответствие составное высказывание, заключающееся в том, что исходное высказывание отрицается.

Логическая операция И .

правило выполнения : высказывания А и В будет истиным тогда когда оба исходных высказывания будут истиным, в противном случае это высказывание будет ложным

Логическая связка ИЛИ .

Правило выполнения : высказывания А или В будет ложным тогда когда оба высказывания ложны в противном случае высказывание А или В будет истиным

Логическая операция НЕ.

Правило выполнения : отрицание высказывания НЕ А будет истиным если высказывание А ложно и отрицание А будет ложным если А истиннаЛогическая операция НЕ.

5.Таблица истинности

Таблица истинности — это таблица, описывающая логическую функцию.

Под «логической функцией» в данном случае понимается функция, у которой значения переменных (параметров функции) и значение самой функции выражают логическую истинность.

Конъюнкция

a b a&b

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Дизъюнкция

a b a+ b

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Отрицание

a не а

0 1

1 0

6.Законы логики высказываний(коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, закон де Моргана)

Законы логики отражают наиболее важные закономерности логического мышления, В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений в соответствие с законами логики.

Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе: А = А

Законы Моргана: не(A v B)= неА & неВ

не(A & B)= неА v неВ

Правило коммутативности.

В обычной алгебре слагаемые и множители можно менять местами. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:

Логическое умножение Логическое сложение

A & B = B & A A v B = A v B

Правило ассоциативности.

Если в логическом выражении используются только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:

Логическое умножение Логическое сложение

(A & B) & C = A & (B & C) (A v B) v C = A v (B v C)

Правило дистрибутивности.

В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые:

Дистрибутивность умножения Дистрибутивность сложения

относительно умножения относительно сложения

(a x b) + (a x c) = a x (b + c)

(A & B) v (A & C) = A & (B v C) (A v B) & (A v C) = A v (B & C)

7.Тождественно истинные и ложные формулы

Все формулы алгебры логики делятся на три класса:

1) тождественно истинные,

2) тождественно ложные и

3) выполнимые.

1)Тождественно-истинные высказывания - высказывания, выражения или формулы логических исчислений, являющиеся истинными при любых значениях истинности их переменных.

2)тождественно-ложные высказывания или формулы ложны при любых значениях истинности их переменных.

3)Формулу А называют выполнимой, если она принимает значение «истина» хотя бы на одном наборе значений входящих в нее переменных и не является тождественно истинной.

8.История создания теории шифрования информации.

Шифрование

Подстановка (замена):

- Одноалфавитная

-Многоалфавитная одноконтурная обыкновенная

-Многоалфавитная одноконтурная монофоническая

-Многоалфавитная многоконтурная

Перестановка:

-Простая

-Усложненная по таблице

-Усложненная по маршрутам

Гаммирование:

-С конечной короткой гаммой

-С конечной длинной гаммой

-С бесконечной гаммой

Аналитические преобразования:

-Матричные

-По особым зависимостям

Комбинированные:

-Подстановка+перестановка

-Подстановка+гаммирование

-Перестановка+гаммирование

-Гаммирование+гаммирование

Кодирование:

-Смысловое

- По специальным таблицам

-Символьное

- По кодовому алфавиту

Другие виды:

- Рассечение-разнесение

- Смысловое

- Механическое

-Сжатие-расширение

11.Импликация

импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества ~{0, 1}. Результат также принадлежит множеству {0, 1}. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности.

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b) (материальная импликация, материальный кондиционал)

a b a импликация b

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация A-> B — это сокращённая запись для выражения (не A или B.)

12.Зако́н контрапози́ции

Зако́н контрапози́ции — закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечёт некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечёт отрицание этой посылки (то есть «не A»).

13.Эквиваленция

Эквиваленцией двух высказываний А и В называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба эти высказывания А и В истинны или оба ложны.

а b a<->b

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

15.Функции алгебры логики

Функцией алгебры логики п переменных (или функцией Буля) называется функция п переменных, где каждая переменная принимает два значения: 0 и 1, и при этом функция может принимать толь­ко одно из двух значений: 0 или 1.

Тождественно истинные и тождественно ложные формулы алгебры логики представляют собой постоянные функции, а две равносильные формулы выражают одну и ту же функцию.

16.Существенные и фиктивные переменные

Если значение функции не зависит от одной из переменных (то есть строго говоря для любых двух булевых векторов, отличающихся лишь в значении этой переменной, значение функции на них совпадает), то эта переменная называется фиктивной

http://www.tablica-istinnosti.ru/suschestvennye-i-nesuschestvennye-peremennye.html

17.метод математической индукции

Математическая индукция, весьма общий способ математических доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на так называемом принципе М. и., являющемся одной из основных математических аксиом.

Математическая индукция - специальный метод доказательства предложений типа (или , т. е. предложений, выражающих некоторое свойство Р, присущее всем натуральным числам n (или всем n > k, где k, - определенное натуральное число). Этот метод хотя и называется индуктивным, по своей структуре представляет собой дедуктивное рассуждение, опирающееся на аксиому математической индукции

20-21.Булева функция от переменных

Логической ( булевой) функцией (или просто функцией) n переменных y = f(x1, x2, …, xn) называется такая функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1.

Переменные, которые могут принимать только два значения 0 и 1 называются логическими переменными (или просто переменными). Заметим, что логическая переменная х может подразумевать под числом 0 некоторое высказывание, которое ложно, и под числом 1 высказывание, которое истинно.

Функции одной переменной y=f(x).

Функции двух переменных z = f(x,y).

22. Стрелка Пирса и Штрих Ше́ффера

Стрелка Пирса – это отрицание дизъюнкции или конъюнкция отрицаний х и у

Стрелку Пирса можно прочесть так: не х и не у.

Стре́лка Пи́рса — двуместная логическая операция, введена в рассмотрение Ч. Пирсом . Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, задаётся следующей таблицей истинности:

A B A ↓ B

0 0 .1

0 1 .0

1 0 .0

1 1 .0

Таким образом, высказывание «A ↓ B» означает «ни A, ни B». Стрелка Пирса обладает тем свойством, что через неё одну выражаются все другие логические операции:

не x ≡ x↓x

x & y ≡ (x↓x) ↓ (y↓y)

x ∨ y ≡ (x↓y) ↓ (x↓y)

x → y ≡ ((x↓x) ↓ y) ↓ ((x↓x) ↓ y)

От перемены мест операндов результат операции не изменяется.

Штрих Шеффера – это новое высказывание , обозначаемое х|y, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания х и у истинны

Штрих Ше́ффера — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными.

Таблица значений

X Y X|Y

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

23-24.Операция поглощения и операция склеивания

Закон поглощения.

Закон математической логики, согласно которому верны следующие равенства:

А и ( А или В) = А

А или ( А и В) = А

Закон склеивания.

Логическая операция, в процессе которой два члена формулы, имеющие одинаковую часть, заменяются одним членом, как бы склеиваются, носит название закон склеивания.

Свойства

1 Операция конкатенации ассоциативна

2 Операция конкатенации некоммутативна

28. Суперпозиция булевых функций

Суперпозицией булевых функций f0 и f1,...,fn называется функция f(x1,...,xm) = f0(g1(x1,...,xm),...,gk(x1,...,xm)), где каждая из функций gi(x1, ...,xm) либо совпадает с одной из переменных (тождественная функция), либо – с одной из функций f1,...,fn.

x & y = y & x

x или y = y или x

x | y = y | x

x & (y & z) = (x & y) & z

x v (y v z) = (x v y) v z

x | (y | z) = (x | y) | z

x v (y v z) = (x v y) & (x v z)

x & (y v z) = (x & y) v (x & z)

не неx = x

не(x & y) = не x или не y

не(x v y) = не x & не y

x & x = x

x & не x = 0

x & 0 = 0

x & 1 = x

x v x = x

x v не x = 1

x v 0 = x

x v 1 = 1

x | y = (x & не y) v (не x & y)

29.Функциональная полнота.

Функциональной полнотой функций S={y1,y2,...,ym}называется функционально полной ,если с помощью функций этой системы можно выразить любую сколь угодно сложную булеву функцию с использованием метода суперпозиции, возможно многократно.

Функциональная полнота системы булевых функций называется минимальной ,если удаление из нее какой-либо функции приводит к нарушению свойства функциональной полноты.

(Кому что то не нравится пишите сами)

30.Алгебра Жегалкина.

Алгеброй Жегалкина называется алгебра над множеством логических функций и переменных, сигнатура которой содержит две бинарные операции И и ИЛИ.

В алгебре Жегалкина выполняются следующие соотношения:

1. x ИЛИ y = y ИЛИ x;

2. x ( y ИЛИ z ) = x y ИЛИ x z;

3. x ИЛИ x = 0;

(1.4)

4. x ИЛИ НЕ х = 1;

5. x ИЛИ 0 = x.

33.Полином Жегалкина

Полином Жегалкина — полином над Z2, то есть полином с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берется конъюнкция, а в качестве сложения исключающее или. Полином был предложен в 1927 году И. И. Жегалкиным в качестве удобного средства для представляения функций булевой логики.

http://s013.radikal.ru/i323/1106/0b/236471d07b78.jpg

35.СДНФ

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой или СДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных называется такая ДНФ, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного набора, причём в одном и том же порядке

а не b c V abc V не a b не c

СДНФ (Совершенная Дизъюнктивная Нормальная Форма) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций

в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв

каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причем в одинаковом порядке.

и вот ещё ссылка:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%C4%CD%D4

36.СКНФ

СКНФ (Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций

в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв

каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

и вот ещё ссылка:

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%9A%D0%9D%D0%A4

37.Релейно-контактные схемы

Под переключательной схемой понимаем схематическое изображение некоторого устройства, состоящее из следующих элементов:

1. переключателей, которыми могут быть механически действующие устройства (выключатели, кнопочные устройства, электромагнитные реле, электролампы, полупроводниковые элементы и т.д.)

2. Соединяющих их проводов

3. входов и выходов в схему (клемм на которые подается электрическое напряжение)

Сопротивления, конденсаторы на схеме не изображаются. Переключательной схемой принимается в расчет только два состояния каждого переключателя "включено", "выключено".

Формулам, включающим & и V также могут быть поставлены в соответствие переключательные схемы.

38. ДНФ и КНФ

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Простой конъюнкцией или конъюнктом называется конъюнкция некоторого конечного набора переменных или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза. Дизъюнктивной нормальной формой или ДНФ называется дизъюнкция простых конъюнкций. Элементарная конъюнкция

правильная, если в неё каждая переменная входит не более одного раза (включая отрицание);

полная, если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно 1 раз;

монотонная, если она не содержит отрицаний переменных.

Например a нe b c V bc V не a — является ДНФ.

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ)

Конъюнктивная нормальная форма1 (КНФ) определяется двойственно к ДНФ. Простой дизъюнкцией или дизъюнктом называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза. КНФ — это конъюнкция простых дизъюнкций.

КНФ может быть преобразована к эквивалентной ей ДНФ путём раскрытия скобок

39. Логика предикатов

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

— центральный раздел логики, в котором изучается субъектно-предикатная структура высказывании и истинностные взаимосвязи между ними.

Л.п. представляет собой содержательное расширение логики высказываний

Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально — подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально - сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект — это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат - это то, что утверждается о субъекте.

Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.

2. Логические операции над предикатами

Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истина и ложь (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат, который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х принадлежащих М, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)V Q(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х принадлежащих М, при которых каждый из предикатов принимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при всех значениях х принадлежащих М, при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях х принадлежащих М, при которых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Импликацией предикатов Р{х) и Q(х) называется новый предикат Р(x)принадлежащих Q(x), который является ложным при тех и только тех значениях х принадлежащих М, при которых одновременно Р(х) принимает значение «истина», a Q(x) - значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

40.Определение равносильности формул ЛП и примеры

Равносильность формул - Две формулы алгебры логики А и В называются РАВНОСИЛЬНЫМИ, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе входящих в формулы элементарных высказываний

Формулы А и В равносильны в данной интерпретации, если на любом наборе значений свободных переменных они принимают одинаковые значения (т. е. если формулы выражают в данной интерпретации один и тот же предикат).

Формулы А и В равносильны на множестве М, если они равносильны во всех интерпретациях, заданных на множестве М..

Формулы А и В равносильны в логике предикатов, если они равносильны на всех множествах (АєВ).

примеры тут:

http://shlepotrun.narod.ru/15_1.html

43.исчисления высказываний

Исчисле́ние выска́зываний — это формальная теория , в которой осуществляется попытка формализации понятий логического закона и логического следования.

Высказывание — это повествовательное предложение, которое истинно или ложно. В классическом исчислении высказываний значимым является лишь истинностное значение высказывания («истина» — 1, «ложь» — 0), поэтому используемые в дальнейшем высказывательные (пропозициональные) переменные могут принимать одно из этих значений.

а также тут:

http://ru.math.wikia.com/wiki/Исчисление_высказываний

44,50,54.Три фигуры силлогизма

переход по ссылке:

http://lib.eparhia-saratov.ru/books/03v/volkov/ritorika/92.html

1 фигура:

http://lib.eparhia-saratov.ru/books/03v/volkov/ritor...

2 фигура:

http://lib.eparhia-saratov.ru/books/03v/volkov/ritor...

3 фигура:

http://lib.eparhia-saratov.ru/books/03v/volkov/ritor...

45.Переход от СКНФ к СДНФ и наоборот

Возьмем логическую функцию f в СКНФ и построим отрицание этой функции, т.е. функцию f, путем выписывания всех конституент нуля, не входящих в f. Пусть f имеет вид

f=(XvYvZ)-(XvYvZ)

f=(Xv YvZ) • (Xv YvZ) • (Xv YvZ) • (Xv YvZ) • (Xv YvZ) • (Xv YvZ)=

=XYZvXYZvXYZvXYZvXYZvXYZ

Преобразование СДНФ в СКНФ .

Возьмем логическую функцию f (сложное высказывание) в СДНФ и построим отрицание этой функции, т.е. функцию f, путем выписывания всех конституент единицы, не входящих в f.

f=XYZv XYZv XYZv XYZv X-Y-Zv XYZ

f= X-Y-Zv X-Y-Z=(XvYvZ)-(XvYvZ)

55.Форма представления двоичных чисел

Система счисления – это способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения.

Системы счисления можно классифицировать по соответствующим показателям и их комбинациям:

• способу изображения чисел системы – позиционные и непозиционные;

• основаниям системы счисления – двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, двоично-десятичная;

• форме представления чисел – естественная форма (форма с фиксированной запятой (точкой)), нормальная форма (форма с плавающей запятой).

Двоичная система счисления имеет основание Р= 2 и использует для представления информации всего две цифры: 0 и 1.

56. Табличный способ доказательств

Табличный способ доказательства, основанный на таблицах истинности. Чтобы понять его, достаточно составить таблицу истинности

Табличный способ решения логических задач также прост и нагляден, но его можно использовать только в том случае, когда требуется установить соответствие между двумя множествами. Он более удобен, когда множества имеют по пять-шесть элементов. Рассмотрим табличный способ на примере решения задачи.

Рассмотрим табличный способ на примере решения задачи.

57.Математический способ доказательств

В математике доказа́тельством называется цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.

58.Основные понятия и операции подмножеств

И вот тут:

http://math.kubkomservice.ru/b_html/lekcii%20diskret...

Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.

Свойства

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств.

Отношение подмножества рефлексивно:

B с B

Отношение подмножества антисимметрично:

(A с B ^ B c A) <-> (A = B)

Отношение подмножества транзитивно:

(A c B ^ B c C ) -> ( A c C )

Пустое множество является подмножеством любого другого:

http://upload.wikimedia.org/math/7/d/b/7db9bc1bf7ca7...

59.Свойства множеств

Множество - это совокупность объектов, рассматриваемая как одно целое. Понятие множества принимается за основное, т. е. не сводимое к другим понятиям. Объекты, составляющие данное множество, называются его элементами.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы - малыми: а, в, с.

Два множества A и B называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, т. е. если каждый элемент множества A принадлежит B и, обратно, каждый элемент B принадлежит A. Тогда пишут A = B.

Пустое множество — множество, не содержащее ни одного элемента.

Универсальное множество (универсум) — множество, содержащее все мыслимые объекты.

Упорядоченное множество — множество, на котором задано отношение порядка.

Пересечением множеств М и N называют множество тех объектов, которые принадлежат множествам М и N одновременно.

Объединением множеств М и N называют множество тех элементов, которые содержатся по крайней мере в одном из множеств М или N.

Разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат множеству М и не принадлежат множеству N.

Симметрической разностью множеств М и N называют множество тех элементов, которые принадлежат только множеству М - или только множеству N.

60.Управления с множествами Венна

Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают элементы множества. Часто все множества на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное множество U.